[Coding The Matrix] Chapter 4. 벡터 공간(Vector Space)

앞장에서는 벡터란 무엇인지에 대해 다루었고, 이번장에서는 벡터스페이스에 대한 소개를 한다.

 

먼저 선형결합에 대해 소개한다.

 

Def

벡터 $v_1, ..., v_n$에 대하여, 

$\alpha_1v_1 + ... + \alpha_nv_n$ where $\alpha_i's$ are scalars 을 $v_1, ..., v_n$의 선형결합(linear combination)이라고 한다.

또한, $\alpha_1, ..., \alpha_n$ 은 각각 $v_1, ..., v_n$의 계수(coefficient)라고 한다.

 

※ $\alpha_1 = ... = \alpha_n = 0$이면 자명한(Trivial) 선형결합이라고 한다. 이외에는 nontrivial 하다고 한다.

 

다음은 선형대수학의 근원이자, 모든 것의 시작인 Span을 다룬다.

 

Def

벡터 $v_1, ..., v_n$의 선형결합들로 이루어진 집합을 $Span(v_1, ..., v_n)$이라 하며, $v_1, ..., v_n$이 span하는 집합이라고 한다.(아직은 공간이 아니다 -> 벡터 공간임을 증명하지 않음)

 

다음은 생성자(Generator)이다.

 

Def

$V$를 벡터들의 집합이라 하자 만약, .$v_1, ..., v_n$이 $V = Span(v_1, ..., v_n)$을 만족한다면, ${v_1, ...,v_n}$을 $V$에 대한 generating set이라 하며, 벡터 $v_1, ..., v_n$을 $V$에 대한 생성자(Generator)라고 한다.

 

e.g.

우리가 많이 다루는 $R^2$의 경우, $e_1  = [1, 0], e_2 = [0, 1]$이 $R^2$에 대한 생성자이다. 우리는 이들을 표준 생성자라 부른다.

그렇다면 도대체 벡터공간이란 무엇일까?

책에서 말하는 벡터공간의 정의는 다음과 같다.

 

 

Property V1 : $V$는 영벡터(zero vector)를 포함한다.

Property V2 : 모든 벡터 $v$에 대하여, 만약 $V$가 $v$를 포함하면 $V$는 모든 스칼라 $\alpah$에 대해 $\alpha v$를 포함하고 스칼라-벡터 곱에 대해 닫혀 있다.

Property V3 : 모든 벡터들의 쌍 $v, u$에 대해, 만약 $V$가 $u$와 $v$를 포함하면 $V$는 $u+v$를 포함한다.

 

Def

벡터들의 집합 $V$가 Property V1, V2, V3를 모두 만족하면 $V$를 벡터공간(Vecotor Space)라고 한다.

 

※ 영벡터(zero vector)만으로 구성된 벡터공간은 자명한(trivial)한 벡터공간이다.

 

다음은 부분공간(subspace)이다.

 

Def

벡터공간 $V, W$에 대하여, $V$가 $W$의 부분집합이면, $V$는 $W$의 부분공간(subspace)이라고 한다.